실습: 위성 궤도 해석#
강좌: 수치해석 프로젝트
실습: 위성 궤도#
개요#
지구를 회전하는 인공위성의 궤도는 Two-body dynamics로 계측할 수 있다.
만류인력 법칙을 이용하면 다음과 같은 관계를 얻을 수 있다.
\[
\ddot{\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{r}}_2 - \ddot{\mathbf{r}}_1 = -\frac{G(M+m)}{r^3} \mathbf{r}
\approx \frac{GM}{r^3} \mathbf{r}
= -\frac{\mu}{r^3} \mathbf{r}
\]
여기서 \(r = |\mathbf{r}|\) 이다.
WGS84 모델에 따르면 지구 적도 반지름과 중력 상수는 다음과 같다.
\[
\mu = 398600.4418 km^3/s^2, r = 6378.136 km
\]
문제#
상미분 방정식으로 구성하기 위해 상태변수를 다음과 같이 구성한다.
\[
\mathbf{x} = \begin{bmatrix}
\mathbf{r} & \mathbf{v}
\end{bmatrix}^T =
\begin{bmatrix}
x & y & \dot{x} & \dot{y}
\end{bmatrix}^T
\]
여기서 \(\mathbf{r}=(x,y)\), \(\mathbf{v}=(\dot{x}, \dot{y})\) 는 위치벡터와 속도 벡터이다.
상태벡터에 대한 미분 방정식을 유도하시오.
\[\begin{split}
\frac{d}{dt} \begin{bmatrix}
x \\ y \\ \dot{x} \\ \dot{y}
\end{bmatrix} =
\end{split}\]
적도면에서 지구 중심으로 부터 \(6800 km\) 떨어진 지점에서 \(y\) 방향으로 속도가 \(8.38697km/s\) 일때 \(t_f=8000 s\) 까지 위성의 궤도를 구하시오.
\(\mathbf{r} = (6800, 0)\), \(\mathbf{v}=(0, 8.38697)\)
solve_ivp
함수를 사용할 경우 다음을 조절하시오.atol=1e-6
,rtol=1e-6
t_eval
옵션을 사용하여 (0, 8000)끼지 최소 1000개 점 이상으로 해를 표현