실습: 위성 궤도 해석#

강좌: 수치해석 프로젝트

실습: 위성 궤도#

개요#

지구를 회전하는 인공위성의 궤도는 Two-body dynamics로 계측할 수 있다.

만류인력 법칙을 이용하면 다음과 같은 관계를 얻을 수 있다.

\[ \ddot{\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{r}}_2 - \ddot{\mathbf{r}}_1 = -\frac{G(M+m)}{r^3} \mathbf{r} \approx \frac{GM}{r^3} \mathbf{r} = -\frac{\mu}{r^3} \mathbf{r} \]

여기서 \(r = |\mathbf{r}|\) 이다.

WGS84 모델에 따르면 지구 적도 반지름과 중력 상수는 다음과 같다.

\[ \mu = 398600.4418 km^3/s^2, r = 6378.136 km \]

문제#

상미분 방정식으로 구성하기 위해 상태변수를 다음과 같이 구성한다.

\[ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{r} & \mathbf{v} \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} x & y & \dot{x} & \dot{y} \end{bmatrix}^T \]

여기서 \(\mathbf{r}=(x,y)\), \(\mathbf{v}=(\dot{x}, \dot{y})\) 는 위치벡터와 속도 벡터이다.

  1. 상태벡터에 대한 미분 방정식을 유도하시오.

\[\begin{split} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \dot{x} \\ \dot{y} \end{bmatrix} = \end{split}\]
  1. 적도면에서 지구 중심으로 부터 \(6800 km\) 떨어진 지점에서 \(y\) 방향으로 속도가 \(8.38697km/s\) 일때 \(t_f=8000 s\) 까지 위성의 궤도를 구하시오.

    • \(\mathbf{r} = (6800, 0)\), \(\mathbf{v}=(0, 8.38697)\)

    • solve_ivp 함수를 사용할 경우 다음을 조절하시오.

      • atol=1e-6, rtol=1e-6

      • t_eval 옵션을 사용하여 (0, 8000)끼지 최소 1000개 점 이상으로 해를 표현